สามเหลี่ยมปาสคาล

ผู้ค้นพบสามเหลี่ยมปาสคาล

         ชุดของจำนวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ทว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบและแสดงให้เห็นความสำคัญ และแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล นี่เองเป็นสาเหตุที่ทำให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน   แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำรา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วย เพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบ และพัฒนาขึ้นในระยะแรก ชนชาติใดบ้างที่สนใจศึกษาเรื่องนี้ 

ชนชาติที่ให้การศึกษาเรื่องนี้ก่อนที่ปาสกาลจะค้นพบความสวยงามทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้ในงานของเขาที่ชื่อ Traité du triangle arithmétique (1653) เริ่มเดิมทีเป็นแนวคิดเรื่อง จำนวนเชิงวิธีจัดหมู่ (Combination Numbers) และจำนวนทวินาม (Binomial Numbers) และการศึกษาเรื่อง “จำนวนเชิงรูปภาพ” (Figurate numbers) ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกด้วย

สามเหลี่ยมปาสคาล คือ อะไร? 

   สามเหลี่ยมปาสคาล มีต้นกำเนิดมาจากความช่างสังเกตของนักคณิตศาสตร์ ที่พบว่า เมื่อเรานำสัมประสิทธิ์
ที่ได้จากการกระจายทวินาม (a b)ⁿ มาเขียนเรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยมแล้ว ตัวเลขที่อยู่ข้างล่างของ
รูปสามเหลี่ยมจะมีค่าเท่ากับตัวเลขที่อยู่ข้างบน 2 ตัวที่อยู่เยื้องๆ กับตัวมันบวกกัน

อ้างอิง http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/24945/วันที่22/08/56

ปาสกาลเป็นใคร

แบลส  ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623 – 1662) เกิดที่เมือง Chermont มลฑล Auverge ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์ และผู้พิพากษา ปาสกาลได้แสดงความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 12 ปี ท่านได้พัฒนาเรขาคณิตเบื้องต้นด้วยตนเอง เมื่ออายุ 14 ปี ท่าเข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส ซึ่งต่อมาในปี 1666 นักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้ได้ร่วมกันสถาปนา French Academic ขึ้น เมื่ออายุ 16 ปี ท่านได้พัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเรขาคณิตโปรเจกทีฟ และเมื่ออายุได้ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข

เป็นที่น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลก

ผลงานที่สำคัญ

น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา และเสียชีวิตเมื่ออายุได้เพียง 39 ปี ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลกทีเดียว

ผลงานที่สำคัญของท่านได้แก่

1.             Essay pour les conique (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตโปรเจคทีฟที่ท่านได้พัฒนามาก่อนแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี

2.             Traité du triangle arithmétique (1653) ซึ่งก็คือเรื่องสามเหลี่ยมของปาสกาล หรือสามเหลี่ยมของชาวจีนที่จะกล่าวถึงในบทความนี้

3.             ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับแฟร์มาต์ ในปี ค.ศ.1654 โดยใช้วิธีการที่ต่างกัน

4.             เรขาคณิตของเส้นโค้ง Cycloid (1658)

 

สร้างสามเหลี่ยมปาสกาลได้อย่างไร???

วิธีการสร้างที่พื้นฐานและอธิบายได้ง่ายที่สุด คือ ที่ด้านบนสุดของสามเหลี่ยมปาสกาลให้เป็น 1 ซึ่งเราจะให้เป็นแถวที่ 0 แถวที่ 1 คือ แถวที่มีเลข 1 และ 1 สร้างได้ผลรวมของจำนวนที่อยู่เหนือมันทางซ้ายและทางขวา 2 จำนวน ซึ่งในกรณีนี้คือ 1 และ 0 (ให้ถือว่าจำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมเป็น 0 ทั้งสิ้น) จากนั้นก็ดำเนินการในทำนองเดียวกันนี้ในการสร้างจำนวนในอื่นๆ (ดูภาพประกอบ)

• แถวที่ 2 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 และ 1 + 0 = 1
• แถวที่ 3 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 0 = 1
• …

และสามารถสร้างด้วยวิธีการเดียวกันนี้ในแถวต่อๆ ไป

 

มีอะไรในสามเหลี่ยมปาสกาล???

แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสาตร์ชาติต่างๆ ได้ศึกษาเซตของจำนวนชุดนี้มาก่อนหน้าปาสกาลแล้วก็ตาม แต่ทว่า แต่ละท่านก็ศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ปาสกาลเป็นคนแรกที่ศึกษาจำนวนชุดนี้ได้ครบถ้วน ซึ่งเราจะมาเรียนรู้กันว่ามีอะไรบ้าง (คลิกอ่านแต่ละหัวข้อนะครับ)

1.    ผลรวมของจำนวนในแต่ละแถว

2.    จำนวนเฉพาะ

3.    แบบรูปไม้ตีฮ็อกกี้

4.    มหัศจรรย์ของ 11

5.    ลำดับฟีโบนักชี

6.    จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม||จำนวนเชิงสามเหลี่ยม||จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม||

7.    จำนวนจุดบนวงกลม

8.    ความเชื่อมโยงกับสาเหลี่ยม Sierpinski

9.    วิธีจัดหมู่

10.                       ทฤษฎีบททวินาม

อ้างอิงhttp://coolaun.com/math/pascal_tri/ 22/08/56